Уравнения акустики

Упругие волны во флюидах - жидкостях и газах - распространяются вследствие того, что движение частиц среды создает чередующиеся сжатия и разрежения, которые вызывают движение в следующем слое флюида. Поскольку флюиды обла­дают объемной упругостью и не обладают сдвиговой, возмущения передаются вдоль направления колебаний и во флюидах существуют только продольные волны. Твердые тела обладают как объемной, так и сдвиговой упругостью, и в них наряду с продольными волнами возникают поперечные.

Основные явления, свойственные волнам различной природы, описываются универсальными математическими зависимостями. К ним относятся фазовая скорость υ, комплексное волновое число К, его составляющие — фазовая постоянная а и коэффициент поглощения b. Акустические характеристики изотропных сред описываются мо­дулями перечисленных величин. Справедливы также дисперсионные соотношения, в соответствии с которыми наличие объемной частотной дисперсии скорости свидетельствует о погло­щении, а наличие поглощения обусловливает объемную частотную дисперсию скорости. Кроме того, избыточное давление, со­здаваемое изучаемыми в сейсмоакустике волнами, мало, в связи с чем среда по отношению к ним линейна и волну произвольной формы можно представить суперпозицией гармонических волн. Поэтому, изучая особенности распространения упругих волн, будем, как и раньше, пользоваться гармоническими представлениями. Результат для волны произвольной формы можно получить, воспользовавшись преобразованиями Фурье.

Большинство горных пород — насыщенные пористые среды (НПС), состоящие из твердой фазы (матрицы) и флюида – порозаполнителя. При сейсмоакустических исследованиях возмуще­ния в среде а соответственно и смещения частиц, малы и можно считать, что разрывов в ней не возникает. В этом смысле горная порода - сплошная многофазная среда, упругие характеристики которой определяются характеристиками матрицы и флюида а также межфазными взаимодействиями. В тех случаях, когда объем порового пространства мал, породу можно условно считать однофазной.

Упругие волны, распространяющиеся в реальных средах, постепенно затухают за счет расхождения фронтов и поглощения энергии — диссипации. На сейсмоакустических частотах основ­ной механизм диссипации в однофазных средах — неравновес­ный теплообмен между участками сжатия и растяжения, а также трение в материале. В многофазных средах диссипа­ция существенно возрастает за счет появления теплообмена между матрицей и флюидом, межфазного трения и некоторых других факторов. В целом диссипация в однофазных породах значительно меньше, чем в НПС, и при их изучении можно воспользоваться законами распространения волн в идеально упругих средах.

Идеально упругие среды — среды без поглощения. Их вол­новое число имеет только действительную часть: К = а(ω). Фа­зовая скорость определяется по формуле υ = ω /а(ω) и не зави­сит от частоты. Поэтому волны акустического и сейсмического диапазонов частот распространяются в идеально упругих средах с одинаковыми скоростями.

Неидеально упругие среды характеризуются поглощением, комплексным волновым числом и являются в этой связи диспергирующими: скорость и затухание в них — функции частоты.

В общем случае скорость и затухание, связанное с поглоще­нием, зависят от свойств горных пород, в связи, с чем их можно считать основными информационными параметрами упругих волн. Скорости, фазы, времена распространения волн на фиксированных базах называют кинематическими параметрами. Те параметры, которые связаны с энергией волн и характеризуют, в частности, их затухание, называют динамическими. На практике наиболее употребимым кинематическим параметром является интервальное время Δt — время прохождения волной пути, равного единице длины. Очевидно, что Δt = 1/υ. Наиболее употребимый динамический параметр — отношение амплитуд волн в двух точках, расположенных на разном расстоянии от излучателя.

Скорость, затухание и частота гармонических волн в изо­тропных средах связаны дисперсионным уравнением вида или системой таких уравнений. Их получают, преобразуя систему волновых уравнений, которая, в свою очередь, является результатом преобразования полной системы уравнений гидродинамики. Решение дисперсионного уравнения (или системы уравнений) позволяет определить скорость и затухание как функцию частоты.

Проиллюстрируем сказанное на простейшем примере распространения плоской волны давления в идеальной жидкости (газе). Под последней понимаем жидкость (газ), вязкость и теплопроводность которой равны нулю, и которую поэтому можно считать идеально упругой.

При распространении волны частицы жидкости смещаются относительно положений равновесия - движутся. Известно, что любые движения жидкости описываются полной системой урав­нении гидродинамики. Следовательно, упругая волна в жидкости также должна удовлетворять этим уравнениям.

Полная система уравнений гидродинамики имеет вид:

; (2.1а)

; (2.1б)

; (2.1в)

где δ — плотность жидкости; — скорость ее частиц; — плотность сторонних сил; Р, V, Т — соответственно давление, объем и температура.

Равенство (2.1а) называют уравнением движения (уравнением Эйлера). Оно характеризует движение частиц под действием сил упругости и сторонних сил и, как легко убедиться, выражает второй закон Ньютона в дифференциальной форме. Равенство (2.1б) называют уравнением неразрывности, поскольку оно получено в предположении, что в среде нет раз­рывов, и изменение массы в объеме V в отсутствии сторонних источников массы равно массе, прошедшей через поверхность, ограничивающую этот объем. Равенство (2.1в), называемое уравнением состояния, связывает давление и температуру жидкости с ее объемом.

Уравнения, входящие в систему (2.1), нелинейны, а потому достаточно сложны. Поскольку нас интересуют только волны малых амплитуд, эти уравнения можно линеаризовать.

Из курса математической физики известно, что в общем слу­чае

Здесь первый член — локальное ускорение — характеризует изменение скорости в данном месте пространства, а последую­щие образуют конвективное ускорение, обусловленное смеще­нием частиц из точки с одной скоростью в точку с другой ско­ростью. При сейсмоакустических исследованиях амплитуды волн а соответственно смещения частиц, малы, в связи с чем . По этой же причине справедливы неравенства: ; . где — плотность невозмущенной среды; — приращение плотности; — вектор смещения частиц, связанный с их скоростью соотношением ; — длина волны. Из сказанного следует, что и , в связи с чем уравнения (2.1а) и (2.1б) в линеаризованном виде можно записать следующим образом:

; (2.2а)

. (2.2б)

Воспользовавшись линеаризованным уравнением состояния (1.9) для идеальной жидкости и повторно продифференциро­вав выражение (2.2б) по t, получим

. (2.3)

Если положить плотность сторонних сил, в том числе сил трения, равными нулю, уравнение (2.2а) примет вид:

. (2.4)

Подставив выражение (2.4) в (2.3), найдем волновое урав­нение для акустического давления:

(2.5)

Давление, подобно другим параметрам плоской гармониче­ской волны, распространяющейся вдоль оси x (при x>0), вы­ражается соотношением:

. (2.6)

Множитель , как и для электромагнитных волн, характеризует поглощение. Положив силы трения равными нулю, а температуру Т постоянной, мы заведомо приняли =1, а К = а. Подставив (2.6) в (2.5) и проведя необходимые преобразования, получим искомое дисперсионное уравнение . Из двух его решений одно дает скорость плоской волны, распространяющейся в положительном направлении оси х:

(2.7)

Итак, скорость в идеальной жидкости зависит только от свойств жидкости и не является функцией частоты. Кроме того, характерное для жидкости и газа отсутствие сдвиговой упруго­сти предопределяет существование в них волн только одного типа — продольных.

Несмотря на простоту формулы (2.7), она по структуре подобна другим формулам скорости упругих волн, в том числе и в твердых средах: в числителе под корнем — выражение, характеризующее жесткость (упругость) среды и, следовательно, скорость передачи напряжений от частицы к частице, в знаменателе — соответствующая плотность, характеризующая инерционность частиц. В бесконечно жесткой среде напряжения нарастали бы на бесконечно малых расстояниях, т.е. бесконечно быстро, и скорость стремилась к бесконечности. При стремле­нии к бесконечности массы, время, необходимое для изменения положения частиц, стремилось бы к бесконечности, а скорость — к нулю. При этом в обоих случаях к нулю стремилась бы и амплитуда смещения. То обстоятельство, что с увеличением плотности акустическая скорость в твердых однофазных телах обычно растет, а не падает, обусловлено тем, что при увеличении плотности реального вещества, жесткость растет быстрее плотности.