Методы решения прямой задачи скважинной акустики

Выше рассмотрены акустические свойства безграничных изотропных сред. Появление цилиндрических границ, обусловленных наличием скважины и скважинного прибора, меняет условия распространения акустических волн. Особенно существенно их влияние на параметры волн, распространяющихся в скважине и в непосредственной близости от нее.

Распространение упругих волн в среде со скважиной и скважинным прибором описывается решением краевой задачи для волнового уравнения вида (2.5) с ненулевой правой частью, выражающей функцию источника. Аналитически это уравнение в общем случае не решается. Для конкретных условий его интегрирование осуществляют численными методами. Обычно применяют метод конечных разностей и операторный. В ряде случаев волновое поле в скважине исследуют методами натурного моделирования.

Метод конечных разностей применяют при комбинации плоских и цилиндрических границ раздела. Подобно тому, как это делалось при решении прямой задачи электрического каротажа, производные, входящие в волновое уравнение, заменяют их разностными аппроксимациями так, что в узлах сетки, дискретизирующей пространство, значения непрерывной и дискретной функций (потенциала, давления, смещения) совпадают. В результате волновое уравнение второй степени в частных производных сводят к системе алгебраических уравнений. Однако конечно-разностные методы имеют серьезные недостатки. Основной из них в том, что полученное решение характеризует волновой процесс в целом, в связи, с чем нельзя корректно выделить составляющие его волны и оценить их пара­метры.

Операторный метод позволяет в принципе определить типы возникающих в скважине волн и оценить параметры каждой из них. Суть метода в том, что от дифференциальных уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям переходят посредством ряда интегральных преобразований. После решения алгебраического уравнения, с помощью обратных преобразований получают решение исходного дифференциального уравнения. Операторный метод эффективен для относительно простых моделей, например для случая скважины, пересекающей пласт бесконечной мощности с осесимметрично расположенным скважинным прибором, а также в случае упрощающих (асимптотических) приближений.

Натурное моделирование позволяет изучить условия образования и распространения волн для сложных моделей среды. К таким моделям в первую очередь следует отнести комбинацию цилиндрических границ, имитирующих обсаженную скважину, а также комбинацию цилиндрических и горизонтальных границ. Кроме того, натурное моделирование дает возможность учесть реальные характеристики акустических излучателей, приемников, изоляторов и оценить, таким образом, эффективность их конструкции.

Особую трудность при натурном моделировании представляет подбор материалов. Обычно их готовят на основе эпоксидных смол и специально подобранных наполнителей. Обсаженные скважины имитируют, используя стальные, пластмассовые, стеклянные трубки. В ряде случаев обеспечивают возможность изменения давления и температуры.

С помощью перечисленных методов изучены основные закономерности пространственно-временного распределения волнового поля в открытых и обсаженных скважинах.

Применение операторного метода рассмотрим на примере решения следующей задачи. Скважинный прибор радиуса и бесконечной длины с абсолютно жестким корпусом — последнее условие означает, что амплитуда распространяющейся по нему волны стремится к нулю, расположен на оси скважины радиусом , заполненной идеальной жидкостью, скорость продольной волны в которой , а плотность . Скважина пересекает изотропный пласт бесконечной мощности, представленный однофазной (К — действительное число) породой, скорости продольной и поперечной волн в которой и а плотность . На корпусе прибора расположены кольцевой излучатель и приемники (кольцом считаем цилиндр, высота которого стремится к нулю). В момент времени t = 0, на бесконечно близком расстоянии от стенки прибора возник мгновенный импульс акустического давления (δ - импульс) в виде кольца ра­диусом R. Задача заключается в нахождении полного поля аку­стического давления Р(t) в любой точке внутри скважины.

Отметим, что задача с δ-импульсом наиболее общая. Для источника, генерирующего колебания, описываемые произвольной функцией F(t), вид поля f(t) связан с полем Р(t) интегралом свертки

С учетом вышеперечисленных условий и формулы (2.7) уравнение (2.5) для давления в скважине примет вид:

, (2.36)

где П — константа, обеспечивающая необходимую размерность и имеющая модуль, равный единице, а 1/2πR — множитель, позволяющий перейти к плотности кольцевого источника.

Преобразуем уравнение (2.36) для условий осевой симметрии следующим образом:

(2.37)

Для среды вне скважины, где источник отсутствует, приме­нимы аналогичные уравнения с нулевой правой частью. По­скольку эта среда твердая, запишем их для скалярного φ и век­торного потенциалов.

Уравнение для скалярного потенциала:

(2.38)

При выводе волнового уравнения для векторного потенциала учтем, что в данном случае div = 0. С учетом этого обстоятельства можно показать, что в условиях осевой симметрии отлична от нуля только - компонента векторного потенциала, т. е. ψ = . В результате формула для лапласиана от векторной функции упрощается:

. (2.39)

Волновое уравнение для векторного потенциала с учетом выражения (2.39):

В систему уравнений (2.37), (2.38), (2.40) входят производные по r, z, t. Применив преобразование Фурье сначала по t, а затем по z, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений с произ­водными только по r:

(2.41)

Обыкновенные дифференциальные уравнения, входящие в систему (2.41) — уравнения Бесселя. Из теории известно, что решение первого из них, удовлетворяющее условию конечности поля на стенке прибора (при r→) и условию затухания излу­чения на бесконечности (Р→0 при r→∞), имеет вид:

(2.42)

где , - функции Ханкеля нулевого порядка второго и первого рода, соответственно, от мнимого аргумента .

Наличие трех слагаемых в квадратных скобках связано с существованием в зазоре «стенка скважины — прибор» трех типов волн: приходящей — отразившейся от стенки скважины, и двух уходящих — прямой и отразившейся от стенки прибора. Поскольку при r→∞ функция возрастает, а функция убывает, первое слагаемое ха­рактеризует приходящую волну, а два других — уходящие. Соответственно множитель А является коэффициентом отраже­ния от стенки скважины, а множитель В — от стенки прибора. Решения уравнений (2.41б) и (2.41в), удовлетворяющие условиям затухания излучения на бесконечности, имеют вид:

(2.43)

где — функция Ханкеля первого порядка первого рода, С и D — постоянные коэффициенты.

Равенства (2.42) и (2.43) содержат четыре неизвестных коэффициента: А, В, С, D. Для их нахождения необходимо восполь­зоваться четырьмя условиями сопряжения, выраженными через , и . Выразим через образ потенциала решение (2.42) уравнения (2.41а).

Согласно выражению (1.7)

Волновое уравнение для скалярного потенциала при можно записать с нулевой правой частью:

.

Отсюда с учётом формулы (2.7)

(2.44)

Образ функции — функция .Поэтому

. (2.45)

Сформулируем условия сопряжения.

Поскольку первая среда — стенка прибора — абсолютно жесткая, условия сопряжения на границе с ней выражаются в ра­венстве нулю нормальных смещений (первое условие сопряже­ния). Для границы скважинная жидкость — пласт условия сопряжения выражаются в равенстве нормальных смещений (второе условие), равенстве нормальных напряжений (третье условие) и, поскольку одна среда жидкая — равенстве нулю касательных напряжений (четвертое условие).

Согласно условию задачи, определению подлежит поле акустического давления в скважине. Его находят с помощью обратного преобразования Фурье для выражения (2.42), используя найденные значения коэффициентов А и В. Полученный в результате интеграл содержит специальные функции и не имеет в общем случае аналитического решения. Условно решение можно представить в виде

(2.44)

где член характеризует прямую водную волну, а члены ряда — отраженные волны, под которыми следует понимать отраженные водные волны, а также волны поверхно­стные и головные. Каждый член ряда описывает регистрируемое кольцевым приемником акустическое поле, созданное волнами всех названных типов, l раз отразившихся от стенки скважины и n — от стенки прибора, и являющееся функцией времени t, координаты кольцевого приемника z и его радиуса r. Сумма ряда описывает суммарное поле, регистрируемое после l-, n- отражений. В принципе эта сумма распадается на две, одна из которых соответствует отраженным волнам, распространяющимся от прибора (n=l) а другая — отраженным волнам, рас­пространяющимся к прибору (n=l-1). Поскольку радиус приемника , волны, распространяющиеся от прибора, им не регистрируются