Упругие волны в многофазных горных породах

Многофазные горные породы являются насыщенными пори­стыми средами (НПС). Их изучению посвящено много работ. Ф.Гассман (1951 г.) предположил, что при распространении упругих волн рассматриваемые объемы НПС подвергаются всестороннему сжатию и растяжению. Взаимные перемещения флюида и матрицы при этом пренебрежимо малы. Однако такое допущение справедливо лишь на низких, в частности сейсмических, частотах, что подтверждают результаты экспериментов.

Исследования, учитывающие межфазные взаимодействия, т.е. относительное смещение матрицы и флюида, начаты в 1944 г. Я. И. Френкелем и развиты затем в работах М. А. Био (1956 г.). Согласно модели Био, флюид с плотностью и вязкостью может перемещаться относительно упругой матрицы, имеющей коэффициент пористости и проницаемо­сти . На частотах, меньших критической частоты

, (2.18)

вязкость флюида не зависит от частоты. При вводится корректирующий множитель — оператор Био, связывающий дей­ствительное значение вязкости с ее кажущейся, зависящей от частоты, величиной

(2.19)

где — оператор Био, значение которого зависит от структуры порового пространства и величины отношения .

Рассмотрим особенности распространения упругих волн в безграничной изотропной НПС, базируясь на теории Френкеля — Био — Николаевского. Параметры волн определим, как и ранее, преобразуя исходную систему уравнений гидродинамики. Однако количество исходных уравнений возрастает, т. к. они должны быть записаны отдельно для матрицы и флюида - поро­заполнителя.

Примем плотности вещества матрицы и флюида равными соответственно , и , а коэффициент пористости где , , — невозмущенные части со­ответствующих величин; , , — приращения этих величин в поле упругих волн. При этом >>; >>; >> и, следовательно, ; ; , причем ; ; .

Предполагая возможность относительного смещения матрицы и флюида, будем считать, что частицы матрицы имеют ско­рость , а флюида . Уравнения неразрывности и движения в этой связи запишем отдельно для матрицы и флюида, по ана­логии с уравнениями (2.2) и (2.8б) для жидкости и однофазной твердой среды:

; (2.20а)

; (2.20б)

; (2.20в)

(2.20г)

где и ; — плотность сил трения жидкость — твердая фаза и твердая фаза — жидкость. Очевидно, в данном случае

Плотность сил трения, возникающих при фильтрации вязкой жидкости сквозь пористую среду с коэффициентами пори­стости и проницаемости и , рассчитывают по формуле Н. Е. Жуковского. С учетом (2.19) она имеет вид:

(2.21)

где α — гидродинамический радиус пор, оцениваемый по формуле

Поскольку среда неразрывна, что учитывается в уравнениях состояния, уравнения неразрывности (2.20а) для флюида и (2.20б) для матрицы линейно зависимы. Поэтому одно из них, например (2.20б), исключим из дальнейшего рассмотрения, а второе преобразуем следующим образом:

(2.22)

Уравнения движения (2.20в) для флюида и (2.20г) для матрицы преобразуем, учитывая формулу (2.21):

; (2.23а)

. (2.23б)

Введем скалярный и векторный потенциалы для вектора смещения частиц флюида и вектора смещения частиц мат­рицы:

; .

В этом случае

(2.24)

Подставив выражение для в уравнение неразрывности (2.22), запишем:

. (2.25)

Исключив из (2.25) дифференцирование по t получим первое уравнение искомой системы:

. (2.26)

Второе уравнение найдем, подставив выражения (2.24) в ра­венство (2.23а), применив, для выделения потенциальных членов, оператор div, и исключив, как и при выводе уравнения (2.12), лапласиан:

. (2.27)

Для вывода третьего уравнения найдем разность выражений (2.23а) и (2.23б), условно считая давление тензором (1.3):

. (2.28)

Напряженное состояние НПС характеризуют тензором эф­фективных напряжений

(2.29а)

позволяющим учесть снижение напряжения в матрице за счет того, что давление в поровой жидкости действует навстречу давлению, деформирующему рассматриваемый объем. Очевидно, при , тензор .

Величина — вектор, содержащий потенциальную и соленоидальную части. Поэтому можем записать

. (2.29б)

Подставив в (2.28) выражения (2.24), применив оператор div, учтя (2.29а) и (2.29б) и исключив, в конечном счете лапласиан, найдем третье уравнение системы:

(2.30)

Равенства (2.26), (2.27), (2.30) являются системой волно­вых уравнений для продольных волн. При этом в три уравнения входят шесть неизвестных — Р, , , , , . Это произошло потому, что не были использованы уравнения состояния среды, с помощью которых , , можно выразить через Р, , .

Первым уравнением состояния является уравнение состояния жидкости (1.9):

, (2.31)

второе и третье имеют вид:

; (2.32)

,

где и — модули объемной и сдвиговой сцементированности породы, характеризующие снижение модуля ее объемной или сдвиговой упругости при по отношению к мо­дулю объемной или сдвиговой упругости при . Иными словами, , . Для твердой однофаз­ной среды .

Запишем выражения скалярных потенциалов плоских гар­монических волн для матрицы и флюида:

; . (2.33)

Если теперь подставим выражения (2.31), (2.32) и (2.33) в (2.26), (2.27) и (2.30) и сгруппируем коэффициенты при Р, , и получим систему уравнений (С. Л. Лопатников, 1987 г.):

;

; (2.34)

,

где

; ;

; ;

; ; ;

Три уравнения (2.34) содержат три неизвестных Р, , и являются поэтому замкнутой системой. Упругие модули , , и для заданной модели среды считаются известными, поскольку могут быть заданы, рассчитаны или определены экспериментально для различных пространственных сочетаний матрицы и наполнителя, т.е. для различной структуры порового пространства.

Для того чтобы система (2.34) была совместной, т.е. имела не только нулевое решение, ее определитель, как известно, должен равняться нулю. Воспользовавшись правилами нахождения определителей, получим биквадратное уравнение вида

, (2.35)

где

;

;

.

Оно и является искомым дисперсионным уравнением, позво­ляющим определить комплексное волновое число К, а соответственно, фазовые скорости и коэффициенты поглощения. Не­смотря на громоздкость расчетов, можно получить точное решение для конкретной модели среды.

В уравнении (2.35) четыре комплексных корня, два из которых характеризуют продольные волны, распространяющиеся в положительном направлении оси х, — их действительные части положительны, что соответствует положительным скоростям, а мнимые — отрицательны, что при х>0 соответствует затуханию волн на бесконечности. Наличие двух разных корней, являющихся комплексными волновыми числами, свидетельствует о наличии двух продольных волн разного типа. Одна из них — продольная волна первого рода — волна сжатия, аналогичная продольной волне, возникающей в однофазных средах. Вторая — продольная волна второго рода — связана с фильтрацией флюида за счет возникающих в нем под действием акустического поля перепадов давления. На низких частотах движение флюида в этой волне подчиняется уравнению диффузии, в связи, с чем ее часто называют волной диффузного типа.

Для определения параметров поперечной волны выделяют с помощью оператора rot соленоидальные члены из волновых уравнений, полученных после подстановки выражений (2.24) в равенства (2.22), (2.23а) и (2.28). В результате находят квадратное уравнение, имеющее два комплексных корня. Тот, у которого действительная часть положительна, а мнимая отрицательна, и является комплексным волновым числом поперечной волны, распространяющейся в положительном направлении оси х.

Таким образом, в безграничной НПС, в отличие от однофазной среды, распространяются акустические волны трех типов — две продольные и одна поперечная.