Акустические волны в скважине Водные и поверхностные волны в скважине

Если индекс l=1, а индекс n = 0, выражение (2.4б) харак­теризует в частности водную волну , возникшую в резуль­тате первого отражения прямой водной волны от стенки.

При последующих отражениях в каждой точке кольцевого зазора между стенкой скважины и прибором последовательно образуются отраженные водные волны (n=1, l=2); (n=2, l=3); и т.д., амплитуды которых при стремятся к ну­лю. Поскольку путь АВС (рис. 1) больше пути АС, а скорости водных волн равны, при мгновенном импульсе излучения прямые и отраженные волны не интерферируют.

Рис 1. Механизм образования

отражённых водных волн

Фактически длительность импульса пре­вышает время распространения волн от излучателя до стенки скважины, т.е. он существует в некотором интервале времени. Картина в этом интервале близка к той, ка­кая была бы при непрерывной работе излучателя. В результате в зазоре возникает сложное интерференционное поле. Тем не менее, поскольку у реального импульса есть начало, первые вступления прямой волны не осложнены интерференцией с отраженными водными волнами.

Из теории известно, что равенство нулю знаменателя коэффициента отражения А, входящего в выражение (2.42), свиде­тельствует о возникновении поверхностных волн. В данном случае их две — волна Лэмба и псевдорелеевская. При стремлении частоты к бесконечности стенка скважины становится как бы плоской и скорость волны Лэмба монотонно приближается к скорости поверхностной волны Стоунли, возникающей на плоской границе жидкости и твердого тела. Поэтому волну Лэмба иногда называют волной Лэмба — Стоунли.

Возникновение волны Лэмба можно объяснить следующим образом. На низких частотах () скважину можно рассматри­вать как узкую трубу, обладающую, в общем случае, следующим свойством: какой бы излучатель не создавал в ней гармоническое акустическое поле, на некотором расстоянии от излучателя будет распространяться одномерная (параметры зависят только от z и t) волна с плоским фронтом, практически перпен­дикулярным к стенке трубы.

Если бы стенка скважины была абсолютно жесткой, смещения в рассматриваемой плоской волне были бы только про­дольными, а ее фазовая скорость равнялась скорости упру­гих волн в свободной жидкости. Фактически порода сжимаема, в связи, с чем наличие в жидкости областей повышенного и пониженного давления вызывает небольшие радиальные смещения стенок, и столб жидкости дополнительно укорачивается или растягивается. Это явление эквивалентно увеличению сжимаемости среды, и скорость волны оказывается несколько меньше . В породе радиальные колебания затухают на длине волны, в связи, с чем рассматриваемая волна в целом является поверх­ностной. Ее существование предсказано в результате анализа выражения (2.42) в низкочастотном приближении при стремле­нии к нулю знаменателя коэффициента А. В геофизике эту волну называют трубной, гидроволной или волной Лэмба и обозначают L. Численный анализ функции возбуждения волны Лэмба показывает, что она быстро убывает при увеличении ча­стоты. Поэтому ее спектр более низкочастотен, чем спектр других волн.

Поскольку радиальные смещения в волне Лэмба невелики, рассеяние энергии в породу минимально и волна распростра­няется на большие расстояния вдоль оси z с малым затуханием. Картина меняется, если пласт проницаем. Расхождение фронта и фильтрация жидкости из областей сгущения в пласт и из пласта в области разряжения, соответствующие возникновению продольной волны второго рода, приводит к заметному снижению амплитуды волны Лэмба. На этом явлении основано выде­ление проницаемых пластов.

Наряду с волной Лэмба в скважине образуется поверхност­ная волна релеевского типа. Поскольку в рассматриваемом слу­чае твердая среда контактирует с жидкостью, а не с воздухом, как в наземной сейсморазведке, это псевдорелеевская волна. Ее скорость, как и у обычной релеевской волны, близка к скорости поперечной волны в породе, но при распространении она непрерывно излучает энергию в жидкость и быстро затухает. Поэтому ее трудно обнаружить на фоне обменной головной волны, скорость которой, как будет показано ниже, равна .

Основное практическое значение среди рассмотренных выше волн имеет волна Лэмба. Найдем выражение для ее скорости, считая для простоты, что прибора в скважине нет.

Смещение частиц в волне Лэмба, как уже говорилось, направлено главным образом вдоль оси z и может рассматриваться как функция координаты z и времени t. Радиальные смещения стенки скважины ,- незначительны.

Движение в осевом направлении обусловлено градиентом давления вдоль оси z, что можно выразить количественно, приравнивая действующую в этом направлении силу к массе, умноженной на ускорение для элементарной цилиндрической обла­сти длиной :

где — радиус скважины. Отсюда

. (3.1)

По мере роста давления, объем элементарной цилиндрической области изменяется. Его изменение состоит из двух частей: , обусловленной осевым движением, и , обусловленной радиальным расширением стенки сква­жины. Деление суммы этих частей на объем дает

или, в соответствии с формулой (1.7),

(3.2)

Г. Лэмб (1960 г.) показал, что для рассматриваемых условий

, (3.3)

где — константа Ламэ (сдвиговая жесткость породы). В результате, выражение (3.2) принимает вид:

Выполнив дифференцирование по z, получим:

(3.4)

С учетом (3.1), выражение (3.4) можно записать как

(3.5)

Сравнивая выражения (3.5) и (2.5), видим, что полученное волновое уравнение характеризует волну, распространяющуюся вдоль скважины со скоростью

(3.6)

Преобразовав (3.6), с учетом (2.7), получим:

. (3.7)

Итак, скорость волны Лэмба несколько меньше скорости продольной волны в скважинной жидкости. Измерив и зная параметры скважинной жидкости и , определяют .

С помощью формул (2.7) и (2.17) уравнение (3.7) преобразуется к виду:

(3.8)

из чего следует, что, измерив скорости , , и зная плотность жидкости , можно определить плотность породы .